Números Congruentes

Reciben este curioso nombre aquéllos que son el área de un triángulo rectángulo de lados racionales. Ya merecieron la atención de los griegos, perplejos por la forma tan imprevisible con que se presentan.
Uno de estos números se nos ocurre de forma inmediata: 6, que es el área del famoso triángulo rectángulo pitagórico, de lados (3,4,5). También son congruentes 5, que es área del triángulo de lados (3/2,20/3,41/5), y 7 de (35/12,24/5,337/60), pero no son congruentes 1, ni 2, ni 3, ni 4.
No es fácil averiguar si un número es o no congruente. Por ejemplo, 157 lo es, pero el triángulo más sencillo de esta área es:

Recordemos que los triángulos rectángulos de lados enteros vienen dados por los valores:

Siendo (m,n) parámetros enteros cualesquiera primos entre sí, uno par y el otro impar. Los múltiplos de los valores obtenidos proporcionarán más triángulos pitagóricos.
La investigación de los números congruentes está relacionada con la resolución del Gran Teorema de Fermat. Por ejemplo, la demostración de que 1 no es congruente, debida a Fermat, equivale a la imposibilidad del famoso teorema para el exponente 4. Tunnell enunció un teorema que casi equivale a una demostración. Falta para ello que fuera cierto su recíproco, y así sería si se acepta la llamada conjetura débil de Birch-Swinnerton- Dyer sobre la función de Hasse-Weil para las curvas elípticas de tipo

No exponemos este teorema por excesivamente abstruso, sólo remarcamos el hecho de que esta demostración requiera, como requirió la demostración de Wiles del Gran Teorema de Fermat, la utilización de técnicas sofisticadas, avanzados y potentes de geometría algebraica que se enmarcan dentro de la teoría aritmética de curvas elípticas.

Quien desee más detalles puede consultar el libro Horizonte científico de España, de Círculo de Lectores, donde el matemático Alberto Galindo analiza éste y otros sorprendentes temas de matemáticas.